|
|
Degenerate Parabolic Stochastic Partial Differential Equations
Hofmanová, Martina ; Seidler, Jan (vedoucí práce) ; Perthame, Benoit (oponent) ; Flandoli, Franco (oponent)
Tato disertace se zaměřuje na několik problémů, které vy- vstávají při studiu degenerovaných parabolických stochastických parcialních diferenciálních rovnic, stochastických hyperbolických zákonů zachování a stochastických diferenciálních rovnic se spojitými koeficienty. V první části studujeme degenerované parabolické stochastické parciální diferenciální rov- nice, adaptujeme pojem kinetické formulace a kinetického řešení a ukážeme existenci, jednoznačnost a spojitou závislost na počáteční podmínce. Jako přípravný výsledek pak dokážeme regularitu řešení v nedegenerovaném přípa- dě za předpokladu hladkých koeficientů s omezenými derivacemi. Ve druhé části uvažujeme stochastické hyperbolické zákony zachování a studujeme je- jich aproximaci ve smyslu Bhatnagar-Gross-Krooka. Konkrétně, popíšeme zákony zachování jakožto hydrodynamickou limitu stochastického BGK mod- elu jestliže mikroskopická škála jde k nule. V poslední části předkládáme nový a elementární důkaz Skorokhodova klasického výsledku o existenci slabého řešení stochastických diferenciálních rovnic se spojitými koeficienty, jež splňují vhodnou Lyapunovskou podmínku. 1
|
|
|
Kalman-Bucy Filter in Continuous Time
Týbl, Ondřej ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
V předložené diplomové práci je studován problém lineární filtrace gaus- sovského signálu v konečně-dimenzionálních prostorech. Užijeme rovnice Kal- manova typu pro odvození spojité závislosti filtru na signálu. Dále ukážeme stejnou vlastnost spojitosti pro kovarianci chyby odhadu a signálu a odvo- díme, že pro integrální rovnici, která je splněna pro filtr, existuje vždy jedno- značně určené řešení, a to i za obecnějších předpokladů. Předvedeme několik příkladů, které ilustrují spojitou závislost pro signály řizené stochastickou diferenciální rovnicí se šumem daným frakcionálním Brownovým pohybem. 1
|
|
|
Markovské semigrupy
Žák, František ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Štěpán, Josef (oponent)
V předložené práci studujeme existenci periodického řešení nekonečně rozměrné stochas- tické rovnice s periodickými koeficienty řízené Cylindrickým Wienerovým procesem. Užitá teorie nekonečně rozměrných stochastických rovnic v Hilbertových prostorech a Markov- ských procesů je shrnuta v prvních dvou kapitolách. Ve třetí a závěrečné kapitole je pre- zentován samotný výsledek. Potřebné technické zázemí zejména z operátorové teorie je shrnuto v Dodatku. Náš důkaz existence periodického řešení příslušné rovnice je kombi- nací argumentů Chasminského, který zaručuje za jistých podmínek existenci periodického Markovského procesu, a výsledků Da Prata, G¸atarka a Zabczyka pro existenci invariantní míry pro homomogenní stochastické rovnice v Hilbertových prostorech. Na závěr odvo- díme postačující podmínky existence periodického řešení v řeči koeficientů užitím výsledků Ichikawy a ilustrujeme výsledky na příkladě stochastické PDR. Práce je psaná v angličtině.
|
|
|
Degenerate Parabolic Stochastic Partial Differential Equations
Hofmanová, Martina
Tato disertace se zaměřuje na několik problémů, které vy- vstávají při studiu degenerovaných parabolických stochastických parcialních diferenciálních rovnic, stochastických hyperbolických zákonů zachování a stochastických diferenciálních rovnic se spojitými koeficienty. V první části studujeme degenerované parabolické stochastické parciální diferenciální rov- nice, adaptujeme pojem kinetické formulace a kinetického řešení a ukážeme existenci, jednoznačnost a spojitou závislost na počáteční podmínce. Jako přípravný výsledek pak dokážeme regularitu řešení v nedegenerovaném přípa- dě za předpokladu hladkých koeficientů s omezenými derivacemi. Ve druhé části uvažujeme stochastické hyperbolické zákony zachování a studujeme je- jich aproximaci ve smyslu Bhatnagar-Gross-Krooka. Konkrétně, popíšeme zákony zachování jakožto hydrodynamickou limitu stochastického BGK mod- elu jestliže mikroskopická škála jde k nule. V poslední části předkládáme nový a elementární důkaz Skorokhodova klasického výsledku o existenci slabého řešení stochastických diferenciálních rovnic se spojitými koeficienty, jež splňují vhodnou Lyapunovskou podmínku. 1
|
|
|
Stochastické diferenciální rovnice s gaussovským šumem a jejich aplikace
Camfrlová, Monika ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Večeř, Jan (oponent)
V diplomové práci je studován vícerozměrný frakcionální Brownův pohyb, který může mít různé hodnoty Hurstova parametru v různých složkách, pro tento proces je dokázána věta Girsanovova typu. Dále jsou ukázány dvě různé ap- likace této věty na stochastické diferenciální rovnice řízené vícerozměrným frak- cionálním Brownovým pohybem. Nejprve jsou nalezeny postačující podmínky pro existenci slabého řešení rovnic s driftem, který může být napsán jako součet regulární a neregulární části, a difúzním koeficientem, který závisí na čase a splňuje jisté podmínky zajištující jeho integrabilitu vzhledem k řídícímu procesu. Tyto výsledky jsou užity k důkazu existence slabého řešení rovnice popisující stochastický harmonický oscilátor. Věta Girsanovova typu je poté využita k nalezení maximálně věrohodného skalárního parametru, který se vyskytuje v driftu rovnice s aditivním šumem. 1
|
|
|
Parameter Estimation in Stochastic Differential Equations
Pacák, Daniel ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
V diplomové práci je studován problém odhadu parametru ve stochastických difer- enciálních rovnicích. Jsou uvažovány lineární rovnice řízené volterrovským procesem. Nejprve jsou uvedeny vlastnosti volterrovského procesu a vlastnosti stochastikého in- tegrálu vzhledem k volterrovskému procesu. Dále se práce zabývá vlastnostmi řešení uvažované rovnice, včetně existence stationárního řešení a ergodicity. Tyto vlastnosti jsou dále zobecněny pro rovnice s řídícím procesem smíšeného typu. Ergodické výsledky jsou použity pro odvození silně konzistentních odhadů neznámého parametru. 1
|
|
|
Kalman-Bucy Filter in Continuous Time
Týbl, Ondřej ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
V předložené diplomové práci je studován problém lineární filtrace gaus- sovského signálu v konečně-dimenzionálních prostorech. Užijeme rovnice Kal- manova typu pro odvození spojité závislosti filtru na signálu. Dále ukážeme stejnou vlastnost spojitosti pro kovarianci chyby odhadu a signálu a odvo- díme, že pro integrální rovnici, která je splněna pro filtr, existuje vždy jedno- značně určené řešení, a to i za obecnějších předpokladů. Předvedeme několik příkladů, které ilustrují spojitou závislost pro signály řizené stochastickou diferenciální rovnicí se šumem daným frakcionálním Brownovým pohybem. 1
|
|
|
Degenerate Parabolic Stochastic Partial Differential Equations
Hofmanová, Martina
Tato disertace se zaměřuje na několik problémů, které vy- vstávají při studiu degenerovaných parabolických stochastických parcialních diferenciálních rovnic, stochastických hyperbolických zákonů zachování a stochastických diferenciálních rovnic se spojitými koeficienty. V první části studujeme degenerované parabolické stochastické parciální diferenciální rov- nice, adaptujeme pojem kinetické formulace a kinetického řešení a ukážeme existenci, jednoznačnost a spojitou závislost na počáteční podmínce. Jako přípravný výsledek pak dokážeme regularitu řešení v nedegenerovaném přípa- dě za předpokladu hladkých koeficientů s omezenými derivacemi. Ve druhé části uvažujeme stochastické hyperbolické zákony zachování a studujeme je- jich aproximaci ve smyslu Bhatnagar-Gross-Krooka. Konkrétně, popíšeme zákony zachování jakožto hydrodynamickou limitu stochastického BGK mod- elu jestliže mikroskopická škála jde k nule. V poslední části předkládáme nový a elementární důkaz Skorokhodova klasického výsledku o existenci slabého řešení stochastických diferenciálních rovnic se spojitými koeficienty, jež splňují vhodnou Lyapunovskou podmínku. 1
|
|
|
Degenerate Parabolic Stochastic Partial Differential Equations
Hofmanová, Martina ; Seidler, Jan (vedoucí práce) ; Perthame, Benoit (oponent) ; Flandoli, Franco (oponent)
Tato disertace se zaměřuje na několik problémů, které vy- vstávají při studiu degenerovaných parabolických stochastických parcialních diferenciálních rovnic, stochastických hyperbolických zákonů zachování a stochastických diferenciálních rovnic se spojitými koeficienty. V první části studujeme degenerované parabolické stochastické parciální diferenciální rov- nice, adaptujeme pojem kinetické formulace a kinetického řešení a ukážeme existenci, jednoznačnost a spojitou závislost na počáteční podmínce. Jako přípravný výsledek pak dokážeme regularitu řešení v nedegenerovaném přípa- dě za předpokladu hladkých koeficientů s omezenými derivacemi. Ve druhé části uvažujeme stochastické hyperbolické zákony zachování a studujeme je- jich aproximaci ve smyslu Bhatnagar-Gross-Krooka. Konkrétně, popíšeme zákony zachování jakožto hydrodynamickou limitu stochastického BGK mod- elu jestliže mikroskopická škála jde k nule. V poslední části předkládáme nový a elementární důkaz Skorokhodova klasického výsledku o existenci slabého řešení stochastických diferenciálních rovnic se spojitými koeficienty, jež splňují vhodnou Lyapunovskou podmínku. 1
|
|
|
Markovské semigrupy
Žák, František ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Štěpán, Josef (oponent)
V předložené práci studujeme existenci periodického řešení nekonečně rozměrné stochas- tické rovnice s periodickými koeficienty řízené Cylindrickým Wienerovým procesem. Užitá teorie nekonečně rozměrných stochastických rovnic v Hilbertových prostorech a Markov- ských procesů je shrnuta v prvních dvou kapitolách. Ve třetí a závěrečné kapitole je pre- zentován samotný výsledek. Potřebné technické zázemí zejména z operátorové teorie je shrnuto v Dodatku. Náš důkaz existence periodického řešení příslušné rovnice je kombi- nací argumentů Chasminského, který zaručuje za jistých podmínek existenci periodického Markovského procesu, a výsledků Da Prata, G¸atarka a Zabczyka pro existenci invariantní míry pro homomogenní stochastické rovnice v Hilbertových prostorech. Na závěr odvo- díme postačující podmínky existence periodického řešení v řeči koeficientů užitím výsledků Ichikawy a ilustrujeme výsledky na příkladě stochastické PDR. Práce je psaná v angličtině.
|
host ::
RSS.